P1.1 二阶三阶行列式

二阶行列式：2 行 2 列 4 个元素

\begin{vmatrix}a&b\\c&d\\\end{vmatrix}=ad - bc \ ; \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix}= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21},

其中$a_{ij}$, $i$为行标，$j$为列标，从左上角到右下角的线叫主对角线，从右上角到左下角的线叫次对角线。

三阶行列式

\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right|=1 \times 5 \times 9+2 \times 6 \times 7+4 \times 8 \times 3-3 \times 5 \times 7-2 \times 4 \times 9-1 \times 6 \times 8

排列

排列：由$1,2,\cdots,n$组成的一个有序数组叫$n$级排列

如：$123\ 132\ 213\ 231\ 312\ 321$为$3$级排列，

但：$3415$, 不是排列，因为没有$2$，排列的中间不能缺数

逆序

逆序：大数排在小数前面。

逆序数：逆序的总数。

如： $N(4213)=3+1=4$.

如果逆序数是偶数叫偶排列；如果逆序数是奇数叫奇排列。

例如：

$N(123\cdots n)=0$ 称为标准排列（或自然排列）。
$N(n(n-1)\cdots 321)=(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$。
$N(54123)=4+3+0+0=7$

如何数逆序数

从第一个开始，数后面有几个比它小的。
切记顺序不能乱来。

对换

对换：交换一个排列中的两个数。

如：

若将 $54123$ 中的$1,2$进行交换，$N(54213)=4+3+1+0=8$。

我们发现将一个奇排列做一次对换会变成偶排列，同理原来是偶排列做一次对换会变成奇排列。

因此做一次对换，奇偶性改变；做偶数次对换，奇偶性不变。

定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

推论奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。

定理 2 在 n 级排列中，奇排列和偶排列各占$\frac{n!}{2}$。

P2 1.1 n 阶行列式

第一种定义

以三阶矩阵为例：
\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31},

行标取标准排列，列标$123\ 231\ 312\ 321\ 213\ 132$取排列的所有可能，其逆序数分别为$0\ 2\ 2\ 3\ 1\ 1$，从不同行不同列取出 3 个元素相乘，符号由列标排列的奇偶性决定，偶排列符号为正，奇排列符号为负。

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum\limits_{j_1j_2\cdots j_n} (-1)^{N(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{3j_n}，\text{共} n!\text{项}

有时简写为 $D=\left|a_{ij}\right|$。

特别的，$\left|a{11}\right|=a{11}$，不同于绝对值。

例：

\begin{align}\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 8 \\ 1 & 1 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 0 & 5 \\ 1 & 0 & 0 & 9\end{array}\right|&=(-1)^{N(1234)} 1 \times 1 \times 0 \times 9 +(-1)^{N(1243)} 1 \times 1 \times 5 \times 0 \\&+(-1)^{N(1324)} 1 \times 0 \times 2 \times 9 \cdots \\&=1 \times 1 \times 0 \times 9 - 1 \times 1 \times 5 \times 0 - 1 \times 0 \times 2 \times 9 \cdots \end{align}
\left|\begin{array}{llll}0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|=(-1)^{N(2341)} 2 \times 3 \times 4 \times 1=-24,根据定义，行取标准排列，列取所有可能，排列出现 0 的项结果为零，唯一的不为 0 的排列$2341$。

下三角行列式

\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|=(-1)^{N(12 \cdots n)} a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}=a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}，结果为主对角线元素相乘。

上三角行列式

\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & a_{n n}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}，

结果与下三角行列式一样，取得也是$12\cdots n$，也可以看成是转置，$D=D^{T}$。

对角线行列式

\left|\begin{array}{llll}a_{11} & & & \\ & a_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{n n}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}，\text{空白区域为零。}

次下三角行列式

\begin{vmatrix} 0 & 0 & \cdots & a_{1n}\\ 0 & \cdots & a_{2(n-1)} & a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=(-1)^{N(n(n-1) \cdots 321)} a_{1 n} a_{2 n-1} \cdots a_{n 1}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1 n} a_{2 n-1} \cdots a_{n 1}。

次上三角行列式

同次下三角行列式，$D=D^{T}$。

第二种定义

按列展开，列标取自然排列，行标取排列的所有可能，从不同行不同列取出 n 个元素相乘，符号由行标排列的奇偶性决定，偶排列
符号为正，奇排列符号为负。

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum\limits_{i_1 i_2 \cdots i_n} (-1)^{N(i_1 i_2 \cdots i_n)}a_{i_1 1}a_{i_2 2}\cdots a_{i_n n}，\text{共} n!\text{项}

第三种定义

既不按行也不按列展开（一般只考符号）

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum\limits_{i_1 i_2 \cdots i_n} (-1)^{N(i_1 i_2 \cdots i_n)+N(j_1 j_2 \cdots j_n)} a_{i_1 j_1} a_{i_2 j_2} \cdots a_{i_n j_n}

例：

讨论\sum (-1)^{N(i21m)+N(1k32)}a_{i1}a_{2k}a_{13}a_{m2}的符号
解：因为是排列，所以$k=4$。

$\text{当}k=4,i=3,m=4 \text{时，}N(i21m)+N(1k32) = N(3214)+N(1432) = (2+1)+(2+1) = 6 \text{，符号为正。}$

$\text{当}k=4,i=4,m=3 \text{时，}N(i21m)+N(1k32) = N(4213)+N(1432) = (2+1)+(2+1) = 7 \text{，符号为负。}$

也可以看作对换一次，奇偶性改变，符号相反，则为负。

P3 1.2 行列式的性质

转置：把原来的行作成列，记作$D^T$

D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1\\ 8 & 8 & 8 \end{vmatrix}, D^T= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 8 \\ 2 & 1 & 8\\ 3 & 1 & 8 \end{vmatrix},D = (D^T)^T

性质：

$D^T = D$，对行成立的性质，对列也成立。（可根据n阶行列式的前两种定义发现，一个取行标，一个取列标，转置后值不变）
两行互换，行列式的值变号。（两行互换相当于每一项做了一次对换，符号改变）
两行（列）相等 $D = 0$，交换相等两行，行列式不变，符号改变，得$D=-D,2D=0,D=0。$
某一行都乘以$k$ ，等于用$k$ 乘以 $D$。 推论：行列式某一行有公因子$k$ ， $k$ 可以提到外面去；行列式所有元素均有公因子$k$ ， $k$ 往外提$n$次。
行列式两行对应成比例，则 $D=0$。 推论：如果行列式某一行全为零，那么$D=0$
行列式某一行的所有元素是两项之和，则该行列式可以表示成两个行列式相加（是和的那一项分开，其余行保持不变）。 如：D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7+8 & 2+3 & 9+10\\ 8 & 8 & 9 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 2 & 9\\ 8 & 8 & 9 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 8 & 3 & 10\\ 8 & 8 & 9 \end{vmatrix}
某一行乘以一个数，加到另一行上去，行列式的值不变。 如: \left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 9 & 9 & 10\end{array}\right|\text{的第一行乘以 5 加到第二行得:}
\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1+5 & 1+10 & 0+15 \\ 9 & 9 & 10 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 9 & 9 & 10 \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 10 & 15 \\ 9 & 9 & 10 \end{array}\right|
后面这个行列式第一、二行对应成比例结果为 0，所以不影响原行列式的值

计算行列式一般凑成上三角行列式，然后主对角线相乘

P4 1.3 行列式按行展开

余子式

余子式（剩余、子集、行列式）：元素所在这一行这一列不要，剩余的部分位置
不变形成的行列式，记作$M_{ij}$。

D=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 \\1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 5 & 6 & 6 \end{vmatrix}， M_{32}= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 5 & 6 & 6 \end{vmatrix}，M_{14}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 3\\ 5 & 5 & 6\end{vmatrix}

代数余子式

代数余子式：记作：$A{ij}=(-1)^{i+j}M{ij}$

定理 1（按行（列）展开）： $D =\sum\text{某行元素}\times \text{自己的代数余子式}$

按某行展开： $D=a{i1}A{i1}+ a{i2}A{i2}+\cdots+ a{in}A{in} $，其中 $a{ij}$表示第i行的第j个元素， $A{ij}$表示该元素的代数余子式。

按某列展开： $D=a{1j}A{1j}+ a{2j}A{2j}+\cdots+ a{nj}A{nj} $，其中 $a{ij}$表示第i行的第j个元素， $A{ij}$表示该元素的代数余子式。

我们发现，将行列式按行（列）展开后，阶数降低并且尽可能找 0 多的行（列）
计算会比较方便。

定理 2（异乘变零）：某行元素与另一行的代数余子式乘积之和= 0（类似于原行列式有两行元素相同，故结果为 0）

拉普拉斯展开定理：在$n$阶行列式中，取定$k$行，由$k$ 行元素组成的所有$k$ 阶子式与其代数余子式乘积之和等于$D$

如:
\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 0 & 8 \\ 9 & 9 & 9 & 10\end{array}\right|，\text{取二阶子式}D=\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1 \end{vmatrix}，\text{ 则它的余子式为}\begin{vmatrix} 0 & 8 \\ 9 & 10 \end{vmatrix}，\text{它的代数余子式} $(-1)^{1+2+1+2}\left|\begin{array}{cc}0 & 8 \\ 9 & 10\end{array}\right|

例：

D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\3 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\6 & 6 & 8 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} (-1)^{1+2+3+4}\begin{vmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 1\\ 8 & 3 & 1 \end{vmatrix}

取前两行，只有取前两列使得二阶子式不为0。

行列式相乘（只有同阶才能用）

与矩阵乘法类似

例：
D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}\times\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\2 & 0 & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 5 \\ 5 & 1 & 4\end{vmatrix}

如果有不同阶的行列式相乘，可将两个行列式的结果分别计算出来，再相乘。

P5 1.4 行列式的计算（一）&（二）

计算纯数字的行列式，一般化成上三角行列式
将原行列式转化为一个新的行列式
每一行元素相同，但是排列顺序不同可以通过构造行和：①将除第一列以外的其他列，都加到第一列上；②提取第一列的公因子；③将第一列乘以(−a)加到其他列上去，构成了下三角行列式。
\begin{aligned} \begin{vmatrix} x & a & a & \cdots & a\\ a & x & a & \cdots & a\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a & a & a & \cdots & x \end{vmatrix} & \stackrel{(1)}{=} \begin{vmatrix} x+(n-1)a & a & a & \cdots & a\\ x+(n-1)a & x & a & \cdots & a\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x+(n-1)a & a & a & \cdots & x \end{vmatrix}\\ & \stackrel{(2)}{=}[x+(n-1) a]]\left|\begin{array}{ccccc} 1 & a & a & \cdots & a \\ 1 & x & a & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a & a & \cdots & x \end{array}\right| \\ & \stackrel{(3)}{=}[x+(n-1) a]\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & x-a & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & x-a \end{array}\right| \\ &=[x+(n-1) a](x-a)^{n-1} \end{aligned}
加边法：加一行，加一列。（为什么可以使用加边法？因为加边之后的行列式按第一列展开，与原行列式的值相同）。 例： 计算n阶行列式： 加边法注意事项:
1. 加边不能改变原行列式的值；
 1. 三叉型（爪型）行列式如何消？上述步骤③;
 2. 行列式中有字母并且字母在分母时，注意题干有没有说其不等于0 。
范德蒙德行列式：D=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_1^{n-2} & x_2^{n-2} & x_3^{n-2} & \cdots & x_n^{n-2} \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}=\prod\limits_{1 \leq j 范德蒙德行列式有时会隐藏起来，所以多注意第一行和第一列的元素是否都相同。
反对称行列式： ①主对角线为轴，且元素都为0 ；②上下位置对应成相反数，记作$a{ij}=-a{ji}$ 性质： 奇数阶的反对称行列式，行列式的值为零，即 $D = 0 $
对称行列式：①主对角线为轴，元素无要求；②上下位置对应相等，记作$a_{ij}=a{ji}$

克莱姆（Cramer）法则

克莱姆（Cramer）法则：方程个数等于未知量个数且系数行列式的值不为零，则$x_j=\frac{D_j}{D}$ ，其中} $D$为系数行列式，$D_j$为把方程组等号右边的数替换$D$中的第$j$列，其它列不动，所形成的行列式。

此法则计算量较大，一般不用

齐次方程组

若方程组等号右边都为零，我们称该方程组为齐次方程组。

定理：对于齐次方程组，如果方程个数等于未知量个数且 $D \neq 0$，则该方程组只有零解$(x_i) = 0$ 。

因此，齐次方程组有非零解的充要条件是 $D = 0 $.