P1.1 二阶三阶行列式
二阶行列式:2 行 2 列 4 个元素
\begin{vmatrix}a&b\\c&d\\\end{vmatrix}=ad - bc \ ; \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix}= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21},
其中$a_{ij}$, $i$为行标,$j$为列标,从左上角到右下角的线叫主对角线,从右上角到左下角的线叫次对角线。
三阶行列式
\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right|=1 \times 5 \times 9+2 \times 6 \times 7+4 \times 8 \times 3-3 \times 5 \times 7-2 \times 4 \times 9-1 \times 6 \times 8
排列
排列:由$1,2,\cdots,n$组成的一个有序数组叫$n$级排列
如:$123\ 132\ 213\ 231\ 312\ 321$为$3$级排列,
但:$3415$, 不是排列,因为没有$2$,排列的中间不能缺数
逆序
逆序:大数排在小数前面。
逆序数:逆序的总数。
如: $N(4213)=3+1=4$.
如果逆序数是偶数叫偶排列;如果逆序数是奇数叫奇排列。
例如:
- $N(123\cdots n)=0$ 称为标准排列(或自然排列)。
- $N(n(n-1)\cdots 321)=(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$。
- $N(54123)=4+3+0+0=7$
如何数逆序数
- 从第一个开始,数后面有几个比它小的。
- 切记顺序不能乱来。
对换
对换:交换一个排列中的两个数。
如:
若将 $54123$ 中的$1,2$进行交换,$N(54213)=4+3+1+0=8$。
我们发现将一个奇排列做一次对换会变成偶排列,同理原来是偶排列做一次对换会变成奇排列。
因此做一次对换,奇偶性改变;做偶数次对换,奇偶性不变。
定理 1 一个排列中的任意两个元素对换, 排列改变奇偶性。
推论 奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。
定理 2 在 n 级排列中,奇排列和偶排列各占$\frac{n!}{2}$。
P2 1.1 n 阶行列式
第一种定义
以三阶矩阵为例:
\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31},
行标取标准排列,列标$123\ 231\ 312\ 321\ 213\ 132$取排列的所有可能,其逆序数分别为$0\ 2\ 2\ 3\ 1\ 1$,从不同行不同列取出 3 个元素相乘,符号由列标排列的奇偶性决定,偶排列符号为正,奇排列符号为负。
\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum\limits_{j_1j_2\cdots j_n} (-1)^{N(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{3j_n},\text{共} n!\text{项}
有时简写为 $D=\left|a_{ij}\right|$。
特别的,$\left|a{11}\right|=a{11}$,不同于绝对值。
例:
- \begin{align}\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 8 \\ 1 & 1 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 0 & 5 \\ 1 & 0 & 0 & 9\end{array}\right|&=(-1)^{N(1234)} 1 \times 1 \times 0 \times 9 +(-1)^{N(1243)} 1 \times 1 \times 5 \times 0 \\&+(-1)^{N(1324)} 1 \times 0 \times 2 \times 9 \cdots
\\&=1 \times 1 \times 0 \times 9 - 1 \times 1 \times 5 \times 0 - 1 \times 0 \times 2 \times 9 \cdots \end{align}
- \left|\begin{array}{llll}0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|=(-1)^{N(2341)} 2 \times 3 \times 4 \times 1=-24,根据定义,行取标准排列,列取所有可能,排列出现 0 的项结果为零,唯一的不为 0 的排列$2341$。
下三角行列式
\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|=(-1)^{N(12 \cdots n)} a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}=a_{11} a_{22} \cdots a_{nn},结果为主对角线元素相乘。
上三角行列式
\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & a_{n n}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n},
结果与下三角行列式一样,取得也是$12\cdots n$,也可以看成是转置,$D=D^{T}$。
对角线行列式
\left|\begin{array}{llll}a_{11} & & & \\ & a_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{n n}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n},\text{空白区域为零。}
次下三角行列式
\begin{vmatrix} 0 & 0 & \cdots & a_{1n}\\ 0 & \cdots & a_{2(n-1)} & a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=(-1)^{N(n(n-1) \cdots 321)} a_{1 n} a_{2 n-1} \cdots a_{n 1}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1 n} a_{2 n-1} \cdots a_{n 1}。
次上三角行列式
同次下三角行列式,$D=D^{T}$。
第二种定义
按列展开,列标取自然排列,行标取排列的所有可能,从不同行不同列取出 n 个元素相乘,符号由行标排列的奇偶性决定,偶排列
符号为正,奇排列符号为负。
\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum\limits_{i_1 i_2 \cdots i_n} (-1)^{N(i_1 i_2 \cdots i_n)}a_{i_1 1}a_{i_2 2}\cdots a_{i_n n},\text{共} n!\text{项}
第三种定义
既不按行也不按列展开(一般只考符号)
\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum\limits_{i_1 i_2 \cdots i_n} (-1)^{N(i_1 i_2 \cdots i_n)+N(j_1 j_2 \cdots j_n)} a_{i_1 j_1} a_{i_2 j_2} \cdots a_{i_n j_n}
例:
讨论\sum (-1)^{N(i21m)+N(1k32)}a_{i1}a_{2k}a_{13}a_{m2}的符号
解:因为是排列,所以$k=4$。
$\text{当}k=4,i=3,m=4 \text{时,}N(i21m)+N(1k32) = N(3214)+N(1432) = (2+1)+(2+1) = 6 \text{,符号为正。}$
$\text{当}k=4,i=4,m=3 \text{时,}N(i21m)+N(1k32) = N(4213)+N(1432) = (2+1)+(2+1) = 7 \text{,符号为负。}$
也可以看作对换一次,奇偶性改变,符号相反,则为负。
P3 1.2 行列式的性质
转置:把原来的行作成列,记作$DT$
D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1\\ 8 & 8 & 8 \end{vmatrix}, D^T= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 8 \\ 2 & 1 & 8\\ 3 & 1 & 8 \end{vmatrix},D = (D^T)^T
性质:
- $DT = D$,对行成立的性质,对列也成立。(可根据n阶行列式的前两种定义发现,一个取行标,一个取列标,转置后值不变)
- 两行互换,行列式的值变号。(两行互换相当于每一项做了一次对换,符号改变)
- 两行(列)相等 $D = 0$,交换相等两行,行列式不变,符号改变,得$D=-D,2D=0,D=0。$
- 某一行都乘以$k$ ,等于用$k$ 乘以 $D$。<br> 推论:行列式某一行有公因子$k$ , $k$ 可以提到外面去;行列式所有元素均有公因子$k$ , $k$ 往外提$n$次。
- 行列式两行对应成比例,则 $D=0$。<br> 推论:如果行列式某一行全为零,那么$D=0$
- 行列式某一行的所有元素是两项之和,则该行列式可以表示成两个行列式相加(是和的那一项分开,其余行保持不变)。<br>如:D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7+8 & 2+3 & 9+10\\ 8 & 8 & 9 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 2 & 9\\ 8 & 8 & 9 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 8 & 3 & 10\\ 8 & 8 & 9 \end{vmatrix}
- 某一行乘以一个数,加到另一行上去,行列式的值不变。<br> 如: \left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 9 & 9 & 10\end{array}\right|\text{的第一行乘以 5 加到第二行得:}
\left|\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
1+5 & 1+10 & 0+15 \\
9 & 9 & 10
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 0 \\
9 & 9 & 10
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
5 & 10 & 15 \\
9 & 9 & 10
\end{array}\right|
后面这个行列式第一、二行对应成比例结果为 0,所以不影响原行列式的值
计算行列式一般凑成上三角行列式,然后主对角线相乘
P4 1.3 行列式按行展开
余子式
余子式(剩余、子集、行列式):元素所在这一行这一列不要,剩余的部分位置
不变形成的行列式,记作$M_{ij}$。
D=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 \\1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 5 & 6 & 6 \end{vmatrix}, M_{32}= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 5 & 6 & 6 \end{vmatrix},M_{14}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 3\\ 5 & 5 & 6\end{vmatrix}
代数余子式
代数余子式:记作:$A{ij}=(-1)^{i+j}M{ij}$
定理 1(按行(列)展开): $D =\sum\text{某行元素}\times \text{自己的代数余子式}$
按某行展开: $D=a{i1}A{i1}+ a{i2}A{i2}+\cdots+ a{in}A{in} $,其中 $a{ij}$表示第i行的第j个元素, $A{ij}$表示该元素的代数余子式。
按某列展开: $D=a{1j}A{1j}+ a{2j}A{2j}+\cdots+ a{nj}A{nj} $,其中 $a{ij}$表示第i行的第j个元素, $A{ij}$表示该元素的代数余子式。
我们发现,将行列式按行(列)展开后,阶数降低并且尽可能找 0 多的行(列)
计算会比较方便。
定理 2(异乘变零):某行元素与另一行的代数余子式乘积之和= 0(类似于原行列式有两行元素相同,故结果为 0)
拉普拉斯展开定理:在$n$阶行列式中,取定$k$行,由$k$ 行元素组成的所有$k$ 阶子式与其代数余子式乘积之和等于$D$
如:
\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 0 & 8 \\ 9 & 9 & 9 & 10\end{array}\right|,\text{取二阶子式}D=\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1 \end{vmatrix},\text{
则它的余子式为}\begin{vmatrix} 0 & 8 \\ 9 & 10 \end{vmatrix},\text{它的代数余子式} $(-1)^{1+2+1+2}\left|\begin{array}{cc}0 & 8 \\ 9 & 10\end{array}\right|
例:
D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\3 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\6 & 6 & 8 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} (-1)^{1+2+3+4}\begin{vmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 1\\ 8 & 3 & 1 \end{vmatrix}
取前两行,只有取前两列使得二阶子式不为0。
行列式相乘(只有同阶才能用)
与矩阵乘法类似
例:
D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}\times\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\2 & 0 & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 5 \\ 5 & 1 & 4\end{vmatrix}
如果有不同阶的行列式相乘,可将两个行列式的结果分别计算出来,再相乘。
P5 1.4 行列式的计算(一)&(二)
计算纯数字的行列式,一般化成上三角行列式
将原行列式转化为一个新的行列式
每一行元素相同,但是排列顺序不同可以通过构造行和:①将除第一列以外的其他列,都加到第一列上;②提取第一列的公因子;③将第一列乘以(−a)加到其他列上去,构成了下三角行列式。
\begin{aligned}
\begin{vmatrix} x & a & a & \cdots & a\\ a & x & a & \cdots & a\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a & a & a & \cdots & x \end{vmatrix}
& \stackrel{(1)}{=} \begin{vmatrix} x+(n-1)a & a & a & \cdots & a\\ x+(n-1)a & x & a & \cdots & a\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x+(n-1)a & a & a & \cdots & x \end{vmatrix}\\
& \stackrel{(2)}{=}[x+(n-1) a]]\left|\begin{array}{ccccc}
1 & a & a & \cdots & a \\
1 & x & a & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a & a & \cdots & x
\end{array}\right| \\
& \stackrel{(3)}{=}[x+(n-1) a]\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & x-a & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 0 & 0 & \cdots & x-a
\end{array}\right| \\
&=[x+(n-1) a](x-a)^{n-1}
\end{aligned}
加边法:加一行,加一列。(为什么可以使用加边法?因为加边之后的行列式按第一列展开,与原行列式的值相同)。<br> 例:<br>计算n阶行列式: <br>加边法注意事项:
- 加边不能改变原行列式的值;
- 三叉型(爪型)行列式如何消?上述步骤③;
- 行列式中有字母并且字母在分母时,注意题干有没有说其不等于0 。
范德蒙德行列式:D=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_1^{n-2} & x_2^{n-2} & x_3^{n-2} & \cdots & x_n^{n-2} \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}=\prod\limits_{1 \leq j < i \leq n}(x_i-x_j)简单来说就是只看第二行,用列数高的减去列数低的,累计相乘。<br> 范德蒙德行列式有时会隐藏起来,所以多注意第一行和第一列的元素是否都相同。
反对称行列式: ①主对角线为轴,且元素都为0 ;②上下位置对应成相反数,记作$a{ij}=-a{ji}$<br> 性质:<br>奇数阶的反对称行列式,行列式的值为零,即 $D = 0 $
对称行列式:①主对角线为轴,元素无要求;②上下位置对应相等,记作$a_{ij}=a{ji}$
克莱姆(Cramer)法则
克莱姆(Cramer)法则:方程个数等于未知量个数且系数行列式的值不为零,则$x_j=\frac{D_j}{D}$ ,其中} $D$为系数行列式,$D_j$为把方程组等号右边的数替换$D$中的第$j$列,其它列不动,所形成的行列式。
齐次方程组
若方程组等号右边都为零,我们称该方程组为齐次方程组。
定理:对于齐次方程组,如果方程个数等于未知量个数且 $D \neq 0$,则该方程组只有零解$(x_i) = 0$ 。
因此,齐次方程组有非零解的充要条件是 $D = 0 $.